Più ricchi ma meno unici: la sorprendente matematica degli accordi

È noto che la musica armonica, intesa come quella fondata sulla concatenazione di accordi, è un'elaborazione esclusivamente europea. Non si tratta di un primato di poco conto.
Da circa mezzo millennio essa è stata oggetto di un'indagine sempre più approfondita, ma anche spesso ricondotta a semplificazioni, precetti e approssimazioni operative, talvolta non prive di veri e propri errori, con l'obiettivo di rendere più agevole l'apprendimento e la pratica musicale.
Proviamo allora a esplorare più a fondo questo immenso e affascinante universo armonico.

​Come già evidenziato in un mio articolo di qualche anno fa, la complessità degli accordi è tutt'altro che intuitiva.
Si potrebbe, ad esempio, pensare che il passaggio da un accordo di 2 note (diade) a uno di 4 note (quadriade) comporti un incremento della ricchezza delle relazioni interne del 100%. In realtà è del 500%.

Analogamente, il passaggio da un accordo di 3 note a uno di 4 potrebbe essere stimato in circa il 33%, mentre l'incremento è del 100%.

Sorprendentemente, però, all'aumentare del numero di note diminuisce, in termini percentuali, il contributo di ciascuna nuova nota alla rete complessiva dei legami armonici. Il numero assoluto di connessioni continua a crescere, ma rallenta la velocità con cui si espande lo spazio armonico.

Ne consegue che l'efficienza strutturale diminuisce progressivamente man mano che si aggiungono nuove note all'accordo*.

L'evoluzione armonica è dunque regolata da un profondo paradosso organico.
Da un lato, ogni nuova nota espande la rete delle connessioni interne, moltiplicando le relazioni possibili. Dall'altro, il peso relativo di ciascuna nuova connessione diminuisce rispetto al totale già esistente.
Il sistema tende così a stabilizzarsi e la sua trasformazione interna rallenta gradualmente, fino ad avvicinarsi alla saturazione cromatica.
Questo fenomeno può essere rappresentato con una semplice analogia.
Sul piano quantitativo, un accordo si comporta come un gruppo di persone riunite in una stanza: l'ingresso di una nuova persona aumenta il numero delle possibili strette di mano con tutti i presenti.
La crescita appare quasi esponenziale, ma in realtà segue una legge quadratica.
Sul piano qualitativo (valore della novità), invece, più la stanza è affollata, meno ogni nuovo arrivato modifica l'assetto complessivo delle relazioni.
La novità relativa si dissolve lungo una curva iperbolica, riducendo l'efficienza di ogni nuovo innesto rispetto alla massa di relazioni già consolidate.

Emerge così una caratteristica fondamentale della geometria interna degli accordi: l'espansione della forma procede di pari passo con la saturazione del contenuto.
La quantità finisce progressivamente per limitare la specificità.
Aggiungendo note si ottengono sempre più legami in valore assoluto, ma si satura a poco a poco lo spazio geometrico disponibile, limitato alle 12 note del Sistema Temperato.
Di conseguenza, il contenuto interno dell'accordo tende a diventare più omogeneo e indifferenziato, perdendo quella novità relazionale che caratterizza le prime fasi dell'espansione.
La libertà combinatoria si restringe perché i suoi gradi di libertà vengono gradualmente esauriti.
Più l'accordo si arricchisce di note, più tende ad assomigliare agli altri accordi di grande estensione, fino ad annullare ogni reale diversità all'interno dell'insieme delle 12 note.
All'inizio del processo, invece, quando si passa da 2 a 3 o 4 note, l'accordo dispone ancora di un enorme spazio di manovra.
Ogni nuova nota introduce una quantità elevatissima di informazione relazionale; successivamente, però, essendo il sistema limitato a 12 note, ogni ulteriore aggiunta non fa che occupare gli spazi ancora disponibili.

Lo stesso fenomeno emerge osservando il vettore intervallare, ossia la distribuzione delle classi d'intervallo presenti tra tutte le coppie di note dell'accordo (terze, quarte, quinte e così via).
Nel Sistema Temperato a 12 note esistono 12 classi intervallari possibili; l'aggiunta graduale di nuove note tende inesorabilmente a saturarle.
In una quadriade, costituita da 6 coppie di note, tali classi possono distribuirsi secondo configurazioni molto differenziate, conferendo all'accordo un'identità ben definita: ad esempio una prevalenza di terze rispetto alle quarte, oppure di quinte rispetto alle seconde.
In un accordo di 9 note (36 coppie) o 10 (45 coppie), le classi intervallari sono ormai inevitabilmente sature: gli intervalli si ripetono con frequenze sempre più simili, rendendo improbabile l'emergere di una configurazione realmente distintiva.

La dinamica dell'accordo è quindi governata da una profonda asimmetria tra quantità e impatto.
Da un lato, ogni nuova nota è fortemente generativa in termini assoluti, poiché moltiplica le connessioni interne ben oltre la semplice unità; dall'altro, la stessa crescita determina una progressiva diluizione del suo contributo percentuale di novità, riducendo l'efficienza integrante di ogni nuovo innesto rispetto alla complessità già accumulata.

In sintesi, all'aumentare della quantità diminuisce la specificità.


* Va inoltre considerato il limite imposto dalla percezione umana, ben diversa dalla capacità analitica di una macchina. Di fronte ad accordi costituiti da un elevato numero di note, il cervello fatica a elaborarne simultaneamente tutte le componenti: si verifica una saturazione percettiva dovuta alla complessità delle onde sonore che raggiungono l'orecchio.
Di conseguenza sperimentiamo una sorta di saturazione dello spazio acustico che limita la capacità di discriminare le diverse complessità armoniche.
​Negli accordi molto estesi percepiamo soprattutto il loro "colore" complessivo più che la precisa organizzazione interna; cogliamo prevalentemente la loro connotazione sovrastrutturale piuttosto che la loro effettiva denotazione strutturale.